UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA

FACULTATEA DE MATEMATICĂ SI INFORMATICĂ

DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ

Anul universitar 2008/2009

FIŞA DISCIPLINEI

Analiză reală

Cod: M 2401

Titular curs: Prof. Constantin P. Niculescu

Ciclul I

Anul  II, Semestrul 2, Curs 28 h, Seminar 28 h

Nr. credite: 5

Domeniu: Matematică

Specializare/ direcţie: Matematică+Matematică Informatică

Tip disciplină: obligatorie

Categorie formativă: fundamentală

Obiective: Prezentarea principalelor rezultate privind teoria funcţiilor reale definite pe spaţii topologice local compacte şi a construcţiei măsurilor abstracte

Conţinut:

1. Elemente de topologie generală. Spaţii topologice. Compactitate. Conexiune. Teoremele lui Urîson şi Tietze. Funcţii reale şi continue pe spaţii topologice compacte. Spaţii metrice. Completatul unui spaţiu metric. Teorema Stone-Weierstrass.

2. Teorema lui Riesz. Funcţii cu variaţie mărginită. Integrala Riemann-Stieltjes. Dualul spaţiului C([a,b]).

3. Spaţii măsurabile. Clanuri boreliene. Măsuri boreliene regulate. Construcţia lui Caratheodory.

4. Integrala în raport cu o măsură boreliană regulată. Funcţii integrabile. Lema lui Fatou. Teoremele lui Levi şi Lebesgue. Funcţii măsurabile. Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate. Spaţiile  L^p cu p=1,2,∞. Teoremele lui Egorov şi Luzin.

5. Integrarea pe spaţii produs. Teorema Fubini-Tonelli.

6. Teorema Radon-Nikodym. Descompunerea Hahn a unei măsuri. Funcţii absolute continue de mulţime. Teorema Radon-Nikodym. Speranţa condiţionată.

Bibliografie:

1.  C. P. Niculescu, Calculul integral al funcţiilor de mai multe variabile. Teorie şi aplicaţii, Ed. Universitaria, Craiova, 2002.

2. W. Rudin, Analiză reală şi complexă, Ed. Theta, 2000.

3. K. Yosida, Functional Analysis, 5^th ed., Springer-Verlag, Berlin, 1995.

4.   M. Willem, Analyse fonctionnelle élémentaire, Ed. Cassini, Paris, 2003.

Discipline anterioare cerute: Analiză matematică 1-3, Algebră liniară

Forma de evaluare: Examen