UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA

FACULTATEA DE MATEMATICĂ-INFORMATICĂ

DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ

Anul universitar 2008/2009

FIŞA DISCIPLINEI

Analiză matematică 1: Analiza pe dreapta reală

Cod: M 1102

Număr de ore: 42 h curs + 42 h seminar

Număr de credite: 7

Titular curs: Prof. dr. Constantin P. Niculescu

Cursuri cerute în paralel: Logică şi teoria mulţimilor

Tip disciplină: obligatorie

Categoria formativă: fundamentală

Obiective: Însuşirea noţiunilor şi rezultatelor de bază ale calculului diferenţial şi integral al funcţilor de o variabilă reală, precum şi a aspectelor topologice privind convergenţa şirurilor numerice şi continuitatea funcţiilor de o variabilă reală.

Programa

1. Corpul numerelor reale. Comentarea listei de axiome care îl defineşte pe R. Funcţiile modul, parte pozitivă/negativă. Marginea inferioară/superioară a unei funcţii. Principiul lui Arhimede. Funcţiile parte întreagă / parte fracţionară. Densitatea lui Q în R.  Reprezentarea zecimală a numerelor reale.

Fracţii continue (opţional).

2. Şiruri. Mulţimi numărabile/nenumărabile.  Principiul lui Cantor al intervalelor incluse. Cardinalul lui R. Existenţa numerelor transcendente.

3. Structura metrică a lui R. Şiruri convergente de numere reale. Operaţii algebrice. proprietăţi de ordine. Criteriul lui Weierstrass. Lema lui D. J. Newman. Teorema Bolzano-Weierstrass. Criteriul lui Cauchy (completitudinea lui R). Şiruri remarcabile de numere:  teoria lui e. Şiruri recurente. Teorema lui Banach de punct fix.

4. Dreapta completată. Convergenţa în . Lema Stolz-Cesaro. Limita superioară/inferioară a unui şir de numere reale.

5. Structura topologică a dreptei. Mulţimi deschise/închise. Structura mulţimilor deschise. Caracterizarea mulţimilor închise cu ajutorul şirurilor. Teorema Bolzano-Weierstrass (pentru mulţimile infinite).

6. Corpul complex. Convergenţa şirurilor de numere complexe.

7. Serii de numere. Serii de numere pozitive. Serii absolut convergente. Produsul de serii. Criteriul Abel-Dirichlet. Aplicaţie la seriile alternante. Evaluarea sumei seriilor. Problema ordinei de sumare.

8. Funcţii continue definite pe intervale. Caracterizarea continuităţii cu ε şi δ, cu vecinătăţi, cu şiruri (criteriul lui Heine). Clase de funcţii continue. Operaţii cu funcţii continue. Limite de funcţii. Discontinuităţile funcţiilor de variabilă reală. Proprietatea valorii intermediare (proprietatea lui Darboux). Proprietăţi speciale ale funcţiilor continue definite pe intervale compacte: Teorema lui Weierstrass, inversarea funcţiilor continue, proprietatea de uniform continuitate.

9. Şiruri şi serii de funcţii continue. Lema lui Dini. Criteriul majorării (al lui Weierstrass. Serii de puteri. Teoremele lui Abel. Raza de convergenţă, mulţimea de convergenţă. Formule pentru raza de convergenţă. Funcţiile elementare ca sume de serii de puteri. Funcţiile elementare ca soluţii ale unor ecuaţii funcţionale.

10. Calculul diferenţial pe R. Derivata şi derivabilitatea laterală. Interpretarea geometrică a derivatei. Operaţii cu funcţiile derivabile. Derivabilitatea funcţiei inverse. Legătura derivabilităţii cu diferenţiabilitatea. Teoremele fundamentale ale calculului diferenţial pe R: Teoremele lui Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange. Aplicaţii: separarea rădăcinilor, unicitatea primitivelor, monotonia funcţiilor calculul derivatelor laterale, Regulile lui l’Hospital. Derivate de ordin superior. Mişcarea liniară. Formula lui Taylor. Caracterizarea extremelor cu ajutorul derivatei secunde. Aplicaţii ale problemelor de extrem. Convexitate. Grafice de funcţii. Dezvoltarea funcţiilor în serie Taylor. Aplicaţii: calculul limitelor, metoda coeficienţilor nedeterminaţi.

11. Calculul integral pe R.  Funcţii etajate. Funcţii riglate. Integrala funcţiilor riglate (integrala Cauchy). Comparaţia cu integrala Riemann. Teorema fundamentală a calculului integral. Tehnici de calcul a integralelor definite. Dependenţa de parametri. Calculul aproximativ al integralelor (metoda trapezelor şi metoda lui Simpson). Aplicaţii ale calculului integral: Aria regiunilor plane sau a unor suprafeţe de rotaţie. Volumul unor solide de rotaţie. Lungimi de  grafice. Calcule de lucruri mecanice, forţe, energii etc.

Modul de desfăşurare al examinării. Nota finală se calculează în funcţie de notele la cele două lucrări de verificare (fiecare cu ponderea 20%) şi nota de la examenul final (care are ponderea de 60%).

Bibliografie

1. B. P. Demidovici: Culegere de probleme şi exerciţii de analiză matematică, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1956 (traducere din limba rusă); există numeroase versiuni mai noi ale acestei culegeri, publicate în limba engleza, franceză, spaniolă etc la Ed. Mir din Moscova.

2. G. M. Fihtenholţ: Curs de calcul diferenţial şi integral. Ed. Tehnică, Bucureşti, vol 1 (1963), vol. 2 (1964), vol. 3 (1965).

3. N. M. Ghiunter şi R. Cuzmin: Culegere de probleme de matematici superioare, vol. 1-3, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1953.

4. S. Lang: Analysis I, Addison-Wesley Publ. Co., Reading, Massachusetts, 1968.

5. C. P. Niculescu: Probleme de analiză matematică, Ed. Cardinal, Craiova, 1994.

6. C. P. Niculescu: Fundamentele analizei matematice, vol. 1: Analiza pe dreapta reală. Ed. Academiei Române, Bucureşti, 1996.

7. C. P. Niculescu: Analiza matematică pe dreapta reală. O abordare contemporană. Editura Universitaria, Craiova. Ediţia a doua, 2002.

8. Publicaţia Gazeta matematică.

9. Manualele şcolare de analiză matematică ale editurii Cardinal (aflate în uz).