Cod: CA 1104
Număr de ore: 42 h curs + 42 h seminar
Număr de credite: 8
Titular curs: Prof. dr. Constantin P.
Niculescu
Cursuri precedente cerute: CA 1101 şi CA 1102
Tip disciplină: obligatorie
Categoria formativă: fundamentală
Obiective: Însuşirea noţiunilor şi
rezultatelor de bază ale calculului diferenţial şi integral al
funcţiilor de o variabilă reală, precum şi a aspectelor
topologice privind convergenţa şirurilor numerice şi
continuitatea funcţiilor de o variabilă reală.
Programa
1. Corpul numerelor reale. Comentarea listei de axiome care îl defineşte pe R. Funcţiile modul, parte pozitivă/negativă. Marginea inferioară/superioară a unei funcţii. Principiul lui Arhimede. Funcţiile parte întreagă / parte fracţionară. Densitatea lui Q în R. Reprezentarea zecimală a numerelor reale.
Fracţii continue (Opţional).
2. Şiruri. Mulţimi numărabile/nenumărabile. Principiul lui Cantor al intervalelor
incluse. Cardinalul lui R. Existenţa numerelor transcendente
(Opţional).
3. Structura metrică a lui R. Şiruri convergente de
numere reale. Operaţii algebrice. Proprietăţi de ordine.
Criteriul lui Weierstrass. Lema lui D. J. Newman. Teorema Bolzano-Weierstrass.
Criteriul lui Cauchy (completitudinea lui R).
Şiruri remarcabile de numere: (nα)n,
(an)n, (n1/n) n
, teoria lui e. Şiruri recurente. Teorema lui Banach de punct fix.
4. Dreapta completată. Convergenţa în completatul lui R. Lema Stolz-Cesaro. Limita superioară/inferioară
a unui şir de numere reale.
5. Structura topologică a dreptei. Mulţimi deschise/închise.
Structura mulţimilor deschise. Caracterizarea mulţimilor închise cu
ajutorul şirurilor. Teorema Bolzano-Weierstrass
(pentru mulţimile infinite).
6. Corpul complex. Convergenţa şirurilor de numere
complexe.
7. Serii de numere. Serii de numere pozitive. Serii absolut convergente. Produsul de serii. Criteriul Abel-Dirichlet. Aplicaţie la seriile alternante. Evaluarea sumei seriilor. Problema ordinei de sumare.
8. Funcţii continue definite pe
intervale. Caracterizarea
continuităţii cu ε şi δ, cu vecinătăţi, cu şiruri
(criteriul lui Heine). Clase de funcţii
continue. Operaţii cu funcţii continue. Limite de funcţii.
Discontinuităţile funcţiilor de variabilă reală.
Proprietatea valorii intermediare (proprietatea lui Darboux).
Proprietăţi speciale ale funcţiilor continue definite pe
intervale compacte: Teorema lui Weierstrass,
inversarea funcţiilor continue, proprietatea de uniform continuitate.
9. Şiruri şi serii de funcţii
continue. Lema lui Dini.
Criteriul majorării (al lui Weierstrass. Serii
de puteri. Teoremele lui Abel. Raza de
convergenţă, mulţimea de convergenţă. Formule pentru
raza de convergenţă. Funcţiile elementare ca sume de serii de
puteri. Funcţiile elementare ca soluţii ale unor ecuaţii
funcţionale.
10. Calculul diferenţial pe R. Derivata şi derivabilitatea laterală. Interpretarea geometrică a derivatei. Operaţii cu funcţiile derivabile. Derivabilitatea funcţiei inverse. Legătura derivabilităţii cu diferenţiabilitatea. Teoremele fundamentale ale calculului diferenţial pe R: Teoremele lui Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange. Aplicaţii: separarea rădăcinilor, unicitatea primitivelor, monotonia funcţiilor calculul derivatelor laterale, Regulile lui l’Hospital. Derivate de ordin superior. Mişcarea liniară. Formula lui Taylor. Caracterizarea extremelor cu ajutorul derivatei secunde. Aplicaţii ale problemelor de extrem. Convexitate. Grafice de funcţii. Dezvoltarea funcţiilor în serie Taylor. Aplicaţii: calculul limitelor, metoda coeficienţilor nedeterminaţi.
11. Calculul integral pe R. Funcţii etajate.
Funcţii riglate. Integrala funcţiilor riglate (integrala Cauchy). Comparaţia cu integrala Riemann.
Teorema fundamentală a calculului integral. Tehnici de calcul a
integralelor definite. Dependenţa de parametri. Calculul aproximativ al
integralelor (metoda trapezelor şi metoda lui Simpson).
Aplicaţii ale calculului integral: Aria regiunilor plane sau a unor
suprafeţe de rotaţie. Volumul unor solide de rotaţie. Lungimi
de grafice. Calcule de lucruri mecanice, forţe, energii etc.
Modul de desfăşurare al examenului. Examenul constă dintr-o probă
scrisă de trei ore, cu un barem comunicat studenţilor (care prevede 1
punct din oficiu şi 9 întrebări teoretice, sau practice, fiecare de
câte 1 punct).
Bibliografie
1. B. P. Demidovici:
Culegere de probleme şi exerciţii de analiză matematică,
Ed. Tehnică, Bucureşti, 1956 (traducere din
limba rusă); există numeroase versiuni mai noi ale acestei culegeri,
publicate în limba engleza, franceză, spaniolă etc
la Ed. Mir din Moscova.
2. G. M. Fihtenholţ:
Curs de calcul diferenţial şi integral. Ed.
Tehnică, Bucureşti, vol. 1 (1963). vol. 2 (1964), vol. 3 (1965).
3. S. Lang: Analysis I, Addison-Wesley Publ. Co., Reading, Massachusetts, 1968.
4. T. Lupu, Probleme de analiză matematică, Calcul integral, Ed. Gil, Zalău, 1996.
5. C. P. Niculescu: Probleme de analiză matematică, Ed. Cardinal, Craiova, 1994.
6. C. P. Niculescu: Fundamentele analizei matematice, vol. 1: Analiza pe dreapta reală. Ed. Academiei Române, Bucureşti, 1996.
7. C. P. Niculescu: Analiza matematică pe dreapta reală. O abordare contemporană. Editura Universitaria, Craiova. Ediţia a doua, 2002.
8. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Book Company, New York, 1964.
9. G. E. Şilov,
Analiză matematică. Funcţii de o variabilă. Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică,
Bucureşti, 1985.
10. Publicaţia Gazeta matematică.
11. Manualele şcolare în uz de analiză matematică.
Subiectele date în sesiunile anterioare
Examenul în anul curent