Analiză matematică 2: Calculul diferenţial pe Rⁿ

 

 

Cod: CA 1204

Număr de ore: 42 h curs + 42 h seminar

Număr de credite: 8

Titular curs: Prof. dr. Constantin P. Niculescu

Cursuri precedente cerute: CA 1101, CA 1104 şi CA 1202

Tip disciplină: obligatorie

Categoria formativă: fundamentală

Obiective: Însuşirea rezultatelor de bază privind spaţiul euclidian n-dimensional şi calculul diferenţial al funcţiilor de mai multe variabile, precum şi crearea de aptitudini în aplicarea acestui calcul la rezolvarea de probleme cu conţinut aplicativ.

 

 

Programa

 

1.      Spaţiul euclidian Rⁿ. Produsul scalar euclidian. Inegalitatea Cauchy-Schwarz. Norma euclidiană. Metrica  asociată normei euclidiene. Elemente de geometrie metrică a lui Rⁿ. Cosinuşii directori ai unei drepte. Produsul vectorial, produsul mixt. Aria unui triunghi in spaţiu. Distanţa de la un punct la o dreaptă. Distanţa de la un punct la un plan.

2.      Topologia asociată metricii euclidiene. Metrici echivalente. Convergenţa şirurilor din Rⁿ. Teorema Bolzano-Weierstrass. Puncte de acumulare. Caracterizarea mulţimilor închise folosind şirurile convergente şi punctele de acumulare.  Mulţimi compacte. Teorema Borel-Lebesgue.

3.      Funcţii continue acţionând pe spaţii metrice. Caracterizarea continuităţii cu ε şi δ, cu vecinătăţi, cu şiruri (criteriul lui Heine). Clase de funcţii continue. Operaţii cu funcţii continue. Limite de funcţii. Funcţii continue pe mulţimi compacte. Echivalenţa normelor pe Rⁿ.

4.      Aplicaţii continue definite pe intervale. Curbe în Rⁿ. Curbe netede. Funcţii cu variaţie mărginită. Lungimea unui arc de curbă. Parametrizarea naturală.

Opţional: Normala principală, curbura, binormala, coeficientul de torsiune. Ecuaţiile lui Frénet. Mişcarea în spaţiu. Viteza, acceleraţia. Legile lui Kepler.

5.      Aplicaţii liniare şi continue acţionând pe spaţii finit dimensionale Norma unei aplicaţii liniare şi continue.

6.      Aplicaţii diferenţiabile. Matricea Jacobiană. Generalizarea Teoremei creşterilor finite. Teorema de inversiune locală. Teorema funcţiei implicite. Diferenţiabilitatea de ordin superior. Teorema lui Schwarz. Formula lui Taylor. Funcţii convexe diferenţiabile. Extremele funcţiilor de mai multe variabile. Extreme cu legături.

 

 

Modul de desfăşurare al colocviului. Colocviul constă dintr-o probă scrisă de două ore, cu un barem comunicat studenţilor (care prevede 1 punct din oficiu şi întrebări teoretice, sau practice, care însumează 9 puncte).

 

Bibliografie

 

1.      B. P. Demidovici: Culegere de probleme şi exerciţii de analiză matematică, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1956 (traducere din limba rusă); există numeroase versiuni mai noi ale acestei culegeri, publicate în limba engleza, franceză, spaniolă etc. la Ed. Mir din Moscova.

2.      G. M. Fihtenholţ: Curs de calcul diferenţial şi integral. Ed. Tehnică, Bucureşti, vol 1 (1963), vol. 2 (1964), vol. 3 (1965).

3.      N. M. Ghiunter şi R. Cuzmin: Culegere de probleme de matematici superioare, vol. 1-3, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1953.

4.      S. Lang: Analysis I, Addison-Wesley Publ. Co., Reading, Massachusetts, 1968.

5.      C. P. Niculescu: Probleme de analiză matematică, Ed. Cardinal, Craiova, 1994.

6.      C. P. Niculescu: Fundamentele analizei matematice, vol. 1: Analiza pe dreapta reală. Ed. Academiei Române, Bucureşti, 1996.

7.      C. P. Niculescu: Analiza matematică pe dreapta reală. O abordare contemporană. Ed. Universitaria, ediţia a 2-a, 2002.

8.      C. P. Niculescu: Analiză 2. Calculul diferenţial pe Rⁿ . Reprografia Universităţii din Craiova, 2005.

9.      W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis. Mc. Graw-Hill Book Co., New York, 1964.

 

 

Subiectele date în sesiunile anterioare

 

·             2003/2004

 

 

Examenul în anul curent